Si quieres una solucion facil y rapida, cambia esta linea:
string[] row = line.Split(newchar[]{',', });
por esta otra:
string[] row = line.Split(newchar[]{',', '"' }, StringSplitOptions.RemoveEmptyEntries);
Ten presente que fallara en caso de que en el fichero exista algun dato que realmente contenga unas comillas en medio del campo.
Por cierto, una observacion acerca de lo que mencionas de "sin las comillas ni la barra": La barra no existe en realidad. Solamente cuando examinas los datos con el debugger, el debugger dibuja la barra en pantalla para presentarte el string tal como lo introducirias si lo escribieras en C#, usando la barra como escape para que acepte las comillas dentro de las comillas. Pero el string de verdad no contiene esa barra.